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《水力学上册》是由河海大学李家星等编写的经典教材，是水力学领域的重要参考书之一。该书以系统性、科学性和实用性为特点，广泛应用于高校水利类、土木工程类及相关专业的教学中。本书注重理论与实践相结合，既涵盖了基础理论知识，又结合了实际工程中的应用问题，为学生和工程技术人员提供了全面的学习和参考工具。

此外，本书在编写过程中充分考虑了教学需求，语言简练准确，逻辑清晰严谨，结构合理紧凑。每一章都设有引言、正文、小结及思考题与习题，便于学生自学和教师授课。同时，书中还引入了一些现代水力学研究的新成果和新方法，使传统理论与现代技术相结合，体现了学科发展的前沿动态。

总体而言，《水力学上册》不仅适合用作高等院校相关专业本科生的教学用书，也适合作为研究生和工程技术人员的参考书籍。通过学习本书，读者可以建立起扎实的水力学理论基础，为进一步研究复杂水流现象或从事水利工程设计打下坚实的基础。

第三节液体平衡微分方程及其积分

广东曲江某迎宾大道道排桥工程施工组织设计第三节液体平衡微分方程及其积分

作用在六面体上的所有外力，即作用在六个面上的面积力和 质量力构成空间力系。根据液体平衡条件，合力为零。 x方向的平衡微分方程为

P 3x 2 2x 2

同理可得y，2方向的平衡微分方程。一并列出为

一 2卫 = 2x Q P 1 卫 ay 1P 2 =0

上式为液体的平衡微分方程式。它是欧拉（Euler）于1755年 首先得出的、又称为欧拉平衡微分方程。

欧拉平衡微分方程反映了平衡液体中质量力与压强梯度的关 系。亦即，若在某一方向上有质量力存在，就一定有压强的变化； 反之亦然。 若将方程组（2.2）中各式分别乘以dx，dy和dz，然后相加可 得

dy Xdx+ Ydy + Zdz= 0x ay + 3z O

号内是p（x.y，z）的全微分dp，于

dp=p(Xdx+Ydy+Zdz)

在具体条件下积分上式可得压强p的具体表达式。本章第四节 和第五节是其积分实例

压强相等的点所组成的面称为等压面：在等压面上，压强 为常量，dp=0。由式（2.3），等压面方程为

Kdx+Ydy+Zdz={

设想液体质点在单位质量力的作用下，在等压面上移动微小距 离ds。ds在相应坐标轴上的投影为dx，dy，dz，则fds=Xdx+ Ydy+Zdz表示液体质点在等压面上移动ds时质量力所做的功： 式（2.4）表明：在等压面上，质量力所做的功等于零。因为质量力 和ds都不等于零，所以等压面上任意点处的质量力与等压面正 交。这是等压面的一个重要特性。 分析式（2.3）还可以引进力势函数V和有势力的概念，并得 出压强p以力势函数表达的形式。式（2.3）的左端是p的全微分： *不可压缩液体，密度0为常数，则式（2.3）的右端括号内各项之 和也应是某一函数的全微分。以W=W（x，y，）表示这个函数 则

dW=Xdx+Ydy+Zdz

比较上两式*应项可得

3W W aw W= dx+ iy dy+ dz 3x dz

W 专 = x 3W ? = ay W Z 二 3z

即函数W*某坐标的偏导数等于单位质量力在该坐标上的投影 由于函数W与质量力之间存在着这种关系，称函数W（x，y，z）为 力势函数，而满足这种函数关系的力称为有势力，如重力和惯性力 都是有势力。引进力势函数W之后，式（2.3）还可写为

0W、 3W 0w p = dx+ 3y dz dp = od W

(2.6) (2.7)

在等压面上，dp=0，由式（2.7)，dW=0，W为一常数。故等压面的 另一特性是：等压面必为等势面；反之，等势面必为等压面。 *式（2.7）进行积分，得

式中C为积分常数，由边界条件决定：如已知液体表面或内部任 一点的压强p及该点的力势函数Wo，则

式（2.8）是用力势函数W表示的液体平衡微分方程的普遍积分 式，至于力势函数W，要视具体情况而定。当然，*某一具体问 题，如果已知X，Y，2，也可直接积分式（2.3），不一定要先求出W。

第四节重力作用下静水压强的分布规律

为积分常数。等式两边同除以

式中C仍为积分常数。 式（2.10）是重力作用下水静力学基本方程的形式之一。它表 明：当质量力仅为重力时，静止液体内部任意点的z和两项之和 吧 为常数。 水静力学基本方程还有另一种形式。由式（2.9）、在液体表面 上z=zo，P=po,则常数C'=po+pgzo，将C值回代人式(2.9)得

p = po + pgh

式（2.10)及式（2.11)均称为水静力学基本方程。它们给出了在重 力作用下压强p的具体函数形式，是液体静力学计算中最常用的 方程。 式（2.11）表明：在重力作用下，液体中任一点的静水压强p由 表面压强po和ogh两部分组成，当po和一定时，压强p随水深

h的增大而增大，呈线性变化。式中pgh的物理意义是单位面积 上液柱的重量。 因为深度h相同的点，压强相等，故在重力作用下的均质液 体中，等压面为水平面。 出式（2.11)，液体中任意两点1,2的压强P，P2的关系可写 为

P2 = P1 ± pg△h

上式为静止液体内部的压差公式。式中△h为两点间的深度差。 当点2低于点1时取正号；反之，点2高于点1取负号。

大气压强P。本财也有**压强和相*压强。前述标准大气 压强的数值为101.3kN/m.是指它的**压强值。式（2.13）中的 P显然是指它的**压强值Paatb，为书写简便起见，省略了下标 abs”Pa以相*压强表示时应该为零。 **压强和相*压强只是起量点不同而已。**压强大于等 于零，不可能出现负值；但相*压强可正可负。工程上使用的压强 值，一般不加说明是指它的相*压强值，并常省略下标“r” 如果某点的压强小于大气压强，则认为该点出现了真空。出 现真空时相*压强为负值，故又认为出现了负。某点的真空压 强以卫表示

显然，上式右端中的p.和p或均用**压强或均用相*压强该等 式都成立，不必再注以下标。 根据真空的定义，某点的真空压强是指该点的压强不足一个 大气压强的数值，不足之值以正值表示：真空在理论上的最大值 是一个大气压强、但在工程上往往很少出现极限状况

均出现真空。 真空的大小除了以真空压强 表示外，还可以用真空高度h，表示 定义为

水静力学方程（2.10）具有几何意义和能量意义。 先讨论几何意义。式（2.10）中各项都具有长度的量纲，可以

水力学中常用“水头”表示高度，故称为位置水头，为压强水 馆 P 头，以H表示。式（2.10)表明：*于静止液体中任意两点1和2， 它们的位置水头和压强水头之和为常数。或者说，静止液体中各 点的测管水头H为常数。即

PI P2 21+ =2+ = H pg g

再讨论式（2.16）的能量意义。由物理学知，把重量为G的物 体从基准面移到高度：后，该物体*所选基准面而言，具有的位能 意义是单位重量液体相*于某一基准面的位能，简称单位位能。 如果液体中某点的压强为P，在该处安置测压管后，在压强D 的作用下，自由液面将沿管上升到高度，如上升的液体重量为 g Pg GPEP 能，简称单位压能。 与之和代表了单位位能与单位压能之和，称单位总势能。 馆 式（2.16）说明：在静止液体内部，各点的单位总势能均相等。 引用上述概念时，请注意以下两点： 1.测压管的液面是自由液面，当以相*压强计算时，自由液 面的压强等于零，而液体中任意点的上实质上是相*压强所形成 吧 的压强水头。 如果容器是开的，容器中的表面压强po=Pa,如图2.6所 示：如果容器是封闭的，且液体表面压强大于或小于大气压强

P，则容器内的液面就低 于或高于测压管的液面。 因此，液体中任意点的卫 pg 并不一定等于封闭容器中 液面以下相应点的水深h。 图2.7所示为Pa>Pa的情 况。Po

管水头H均为常数，都等于自由液面至基准面的距离。H及的 大小都与所选基准面的位置有关，而压强水头与基准面的位置 唱 无关。 四、等压面的应用 等压面是压强相等的点构成的面。已如前述jc／t 2542-2019 蒸压加气混凝土设备 夹坯机，等压面与质量 力正交。*于质量力只有重力的液体，因重力的方向指向地心，所 以等压面应为球面的一部分，如海洋、湖泊中的水面应为球形曲 面，但因水面的曲率半径很大，可视为平面。 由式（2.11）不难分析：在重力作用下，静止均质液体中的等压 面是水平面；反之，水平面是等压面。需要强调指出，静止液体内 等压面是水平面这一结论，只能适用于互相连通的同一种液体，* 于互不连通的液体则不适用。如图2.8（a）液体间以阀门隔开、图 2.8（b）穿过两种不同液体的平面都不是等压面。 利用等压面原理及水静力学基本方程可以分析工程上或实验 室中常用的测压设备的原理。 （1）U形水银测压计前面介绍的测压管只适用于量测较小

的压强，否则需要的玻璃管过长， 应用不方便。量测较大的压强可 用水银测压计。水银的比重较大， 沉于被量测液体的下部，测压计需 U形。在压差的作用下，水银面出 现高差。如图2.9中B点的压强 为

式中p为水银的密度。 （2）压差计压差计直接量测

两点之间的压强差，并不涉及到该两点的压强大小。压差计可分 为空气压差计、油压差计和水银压差计等。 图2.10所示为一种空气压差计，倒0形管上部充以空气，下 部两端用橡皮管连接到容器中需要量测的1，2两点。当1，2两点 的压强不等时，倒U形管中的液面存在高差△h。因空气的密度 很小，可以认为两管的液面压强相等。应用压差公式有

在测得△h和a后，即可求出1,2两点的压强差。

Ah和a后，即可求出1,2两点的压

当量测的压强较小时，为了提高精度某医院经济适用住房地暖工程施工方案，可将压差计倾斜某一角 度8，如图2.11所示。用倾斜压差计量测的两点压差为

式中'为另一种液体的密度。 量测大压差时，可用水银压差计，如图2.12所示，U形管中充 以水银。根据等压面原理及压差公式有