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Or 的，否则该两力相互抵消。 以下各式的推导是假设α=1的情况下推导出的。 4、以、h为因变量

因为A=A|h(2,t),x]，故：

某小区机电安装施工组织设计5、以u、Z为因变量

QA =Bah 0A ar ac 十 ax

oh .Aau u①A at 十 Bar B

二、具有漫洪滩地河道问题的处理

断面平均流速u= AA+A +A A

A A+A,+A 单位时间内通过整个断面的动量应为 pQu，它比按照断面平均流速计算的动量pQu =1 要大，其比例系数即为动量校正系数。 假定滩地和主槽中水流的摩阻比降是相同的，所以有：

ZQu, 目 A A pQu QA K A 二

因为A、K为水深(或水位)及断面位置的函数，故此值亦像其它河道断面资料一样， 可以预先整理成α=α(Z，c作为原始基本资料。 当滩地只起调蓄作用，不起输送水量作用时，也就是滩地上流速很小，动量方程式 起作用的是主河槽部分，所以凡是动量方程式中断面积A及河宽B均按主槽部分计算 在连续方程中出现的B和A都应包括滩地在内的全部河宽和过水面积。所以当滩地只 S 起水量调蓄作用，不起输水作用时，其基本方程组如下：

第四节定解条件及定解问题

非恒定问题必须给出初始条件。至于空间域，由于用有限差分法求解时总是取有限 空间，必须给出边界条件。初始条件与边界条件是确定微分方程解的必不可少的条件 合称为定解条件。定解条件少给了，就无法定解，即所谓欠定；多给了可能产生矛盾， 即所谓过定；只有给出适当个数的定解条件才能求解，即所谓适定。现在考虑对流方程：

Ou.dxOu at dtac +

式中C为重力波速C= 9A B

在边CD上，没有一条特征线指向计算域内，故在此边上无须给出条件。

第三章有限差分的基本理论

从上一章讨论可见，所求解的基本方程是一双曲型偏微分方程组，该方程组用现有 数学理论目前得不出解析解，除了某些特殊情况及简化情况下可写出其准确解（如棱柱 形恒定流情况等)，一般都采用数值求解。差分方法是数值求解偏微分方程组的一种方 法，下面以一维非恒定问题为例，说明差分方法的一些基本概念。 考虑双曲型一维对流方程：

du +C ou at ar

网格节点(c,t,)可记为(,))，则节点处的函数值可记为：

如果网格剖分使得每一空间步长、时间步长均相等，则称该网格为一均匀网格，否 则称之为非均匀网格。 数值解主要是求解节点上的末知变量的数值，利用有限的节点上的值来代替整个求 解域内的连续函数值。如果节点上的函数值已求出，则节点以外的函数值可利用节点上 的值，采用某种方式插值求解，当然这样求得的解与本身微分方程的真解会有差别，该 差别称之为误差，本章的主要研究如何数值求解以及其误差究竟如何。

一、差分、差商的基本概念

第二节偏导数的差商近似

f（2)，从微分学知道函数u对c的导数

>C 在上述的导数定义中△r是以任意方式趋近于零的，因而△r是可正可负的。在差 分方法中，△r总是取某一小的正数。这样在差分方法中，可以有如下三种基本形式： 向前差分： ?

△u=u(x+△x)u(x△x）

上面介绍的是一阶导数，对应的差分称为一阶差分。对一阶差分再作一阶差分，所 得到的称之为二阶差分，记为△u。以向前差分为例有：

依此类推，任何阶差分都可以由其低一阶的差分得到。n阶的向后差分、中心差分 的形式类似。 函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商，如一阶向前差商为：

二阶差商多取中心式，即：

偏导数的差商近似及其构造

ou )+0(△x) △r 21 a

由此可见二阶偏导数的差商近似表达式之

同样也可以写出时间一阶偏导的差商近似表达式及其精度。对于上述的中心差商， 当网格为非均匀网格时，可能就不是中心差商了。 在实际计算时，空间区域往往是有限的。故在边界处的偏导的差商近似的构造在计 算时显得相当重要，下面举例说明如何构造边界处的偏导数近似。

【例1】构造边界点处(0,j)对c的一阶偏导的二阶差商近似。对点(0,j)进行Tayl 干得：

+△x(+(△(+(△a(+（△）

=+2△x(+(2△x)()+(2x(）+0（(△x)

=+2△x(）+(2△(+(2△²(+（(△x)

Qu²+ α2u²=(a + α)u² + (a + 2a)x· dr 2！ 3

α+202=1 及 α,+ 4α2= 0

a²u 0x2 (△c)

由上式可见其近似的精度为一阶，若要其二阶差商近似，还要对点(3,7)展开的近似 式：

u=u+3x·()+(3△x)()+(3△x)()+0(△z)

α+20+30=0 α+ 402+ 903= 2 Q+ 8α, + 27α, = 0

由此得 0u 在边界点处的二阶精度的差商近似为 x2

au ar (△x)²

上述介绍的Taylor展开法构造偏导数的差商近似，该法是最常用的方法，它简便不 包含物理意义，但可以得到差商近似的精度。 2情书托起计

u(x,t)= a + bx + cx²

中：α、b、c为待定系数。为了方便，设原点c=0在点的位置上，则可写出三个 的函数有：

得到的一阶中心差商和二阶中心差商公式和Taylor展开得到的结果相同。如果选用 次插值和不同的插值点，则可得一阶向前或向后差商。 用高阶多项式插值可得到高阶差商表达式。除一、二次多项式外，所得到的表达式 与高阶Taylor展开得到的结果并不相同，这时多项式展开的误差仍需用Taylor级数展 开来检验。此外高阶多项式插值具有龙格不稳定性，使得插值对计算误差十分敏感。多 项式插值法在计算流体力学中多用于处理边界处的差商近似。 关于偏导数的差商近似还有其它多种方法，但最终均需用Taylor展开来计算其近似 的误差，因此在实际计算中通常均用Taylor展开法来构造，因为此法在构造差商近似的 同时还得出了其近似的误差精度。 ?

若时间导数用一阶向前差商近似，空间导数用一阶向后差商近似，即：

则在点（的对流方程可以近似写作：

在实际计算时，还需要有定解条件，问题才能适定，偏微分方程才能有解。设C≥0 且空间区域为有界域(0≤≤l)，则方程的定解条件为：

故原始偏微分方程定解问题：

通过差商离散，用下列方程组来近似：

△t △ u²=f(i△x) u²=g(j△t)

=f(i△x) u =g(j△t)

au =0 t≥0,0≤x≤8 at ac u(x,t)t==f(x)= 0 u(x,t）)=0=g(t)=1

△t △c u²=f(i△x)=0 (i = 1,2,3...) u²=g(j△t)=1 (j = 1,2,3.,...)

2)取△=1，△t=2，C=1.0，则=C △c

对方程在点（i)采用时间、空间向前差分得：

3、 蛙跳格式： 对方程在点（i.i)采用时间、空间中心差分得：

对方程在点(ii)采用时间、空间中心差分得：

第四节截断误差和相容性

du △t0²u du x²u +o(△t²)+C + o(△x²)= 0 at 2at² ac 20x²

du du t²u △x²u +C +o(△t²,△x²)= 0 t ac 2at² 20x2

分，这部分称之为格式的截断误差，以R表示之。

同理可得对流方程的差分方程的其它格式的截断误差为： FTCS格式：

△t 0²u △c²u + o(△t²,△x²) 2at² 20x²

△t 0²u △x²au H +C + o(△t²,△x3 2at² 3!0x3

△t a²u △x a²u 了 +C + o(△t²,△x² 2 at2 2 ax

△t² 0u △x²a²u R +C + o(△t²,△x3 3! at3 3!ax

高速公路大桥项目安全专项施工方案au +R= at ar 1

如果当△、△t→0时，差分方程的截断误差的某种范数R也趋近于零，即 linR=0，则表明从截断误差的角度来看，此差分方程是能用来逼近微分方程，通 X? 常称这样的差分方程和相应的微分方程相容。如果截断误差的范数不趋于零，则称为不 相容。这样的差分方程不能用来逼近微分方程。 以上只考虑了方程，但从整个问题来看，还应考虑定解条件。若定解问题的定解条 件为：

其中B、是差分算子，则截断误差为：

只有方程相容，定解条件也相容，即：

limR=0, limll = 0

整个问题才相容。△r→0、△t→0的情况有两种：一是各自独立地趋于零，这是无 条件相容；另一是△、△t之间存在某种关系（警如要求 二2 =K）下同时趋于零，这种 △t 情况下的相容为条件相容。 从上述定义与分析可知防雷接地施工组织设计方案，FTCS、FTFS、FTBS及蛙跳格式均为无条件相容。取 R=max(R,r)=o(△t"，△x°)，称差分格式对时间有P阶精度，对空间有Q阶精度。

所谓相容性，是指当自变量的步长趋于零时，差分格式与微分问题的截误差的范数 是否趋于零，从而可看出是否能用此差分格式来逼近微分问题。然而方程（无论是微分 方程或是差分方程）是物理问题的数学表达形式，其目的是为了借助数学的手段来求问 题的解。因此，除了必需要求差分格式能逼近微分方程和定解条件（表明这两种数学方 法在形式上是一致的）外，还进一步要求差分格式的解（精确解）与微分方程定解问题 的解（精确解）是一致的（表明这两种数学表达方法的最终结果是一致的）。即当步长 趋于零时，要求差分格式的解趋于微分方程定解问题的解。我们称这种是否趋于微分方 程定解问题的解的情况为差分格式的收敛性。更明确地说，对差分网格上的任意结点 (,i)，也是微分问题定解区域上的一固定点，设差分格式在此点的解为u²，相应的微分 问题的解为U（c，t），二者之差为：