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涵洞优化设计问题的数学模型可描述如下：

甬dx∕js 017-2022 宁波市机制砂生产应用技术规程s.t. ci(x)=0(I=1,2,…,m)

bj(x)≤0(j=1,2,…,n)

其中x称为决策变量，f(x)为目标函数，ci(x)=0为等式约束条件，6(x)≤0为不等式约束条件，min是极小化的缩写，s.t.是受约束的缩写。在实际工程中，有求解最大化的问题，约束条件也有大于等于的问题，但都可以通过一定变换，最终归结为上面表述的问题。要解决最优化问题，首先必须确定目标函数、决策变量和约束条件三个要素。

目标函数是评价涵洞设计标准的数学描述，评价标准应该是多方面的。在满足道路、排水等条件下，涵洞工程量反映了工程造价、施工等方面的重要信息，是最值得选择的目标函数，涵洞工程量包括涵身和洞口两部分。为使工程量具有可比性，通常以选择同类型涵洞的主要工程量进行比较。

影响涵洞目标函数的设计参数很多，为简化问题可以先假定某些设计参数(如涵洞类型、洞口类型、路基宽度、孔径、斜度等)，选择那些可比性强，敏感性高的设汁参数作为决策变量，对目标函数进行优化。经过研究，认为涵高的变化对工程量的影响很大，是较理想的决策变量。涵高是指涵洞基础顶面至拱上侧墙顶面(板顶)的距离，包括涵台高、板(拱圈)厚、净矢高(拱涵)、板(拱)顶墙高。

约束条件是寻优的范围。在涵洞设计中，为满足排水的要求有涵洞最小净空的要求，涵高也不能超过路基的高度等，这些条件限制了决策变量的范围。涵洞优化设计的约束条件有：最小净高、最大涵高。

2 涵洞优化设计计算

2．1 涵洞工程量数学式

涵高对涵洞工程量的影响很敏感，当路基设计标高、路基宽度、涵底标高确定之后，涵长与涵高成反比，而涵身断面尺寸(涵台、基础)随涵高的增加而增大，此外上下游洞口工程量也随涵高的增加而明显增大。涵洞工程量取决于涵长和涵洞断面尺寸，由此可见涵洞工程量是涵高的函数。设决策变量涵高为x，目标函数涵洞工程量V，则一般可描述为下面形式的数学式：

V=a1x3+a2x2+a3x+a4

min V=aix3+a2x2+a3x+a4

s.t. +hd≤x≤H (2)

式中的a1、a2、a3、a4分别是与涵洞类型和结构尺寸有关的系数；H为涵洞中心路基设计标高与涵底标高之差；hj为满足泄洪要求的涵洞最小净高； hd为涵洞建筑高度。

式(2)是一个单元函数的条件极值问题，只要根据涵洞类型和结构尺寸确定出相关系数a1、a2、a3、a4，通过一阶导数为零不难求得涵洞最小工程量Vmino

2．2 涵洞工程量V的分析

从式(2)可知，目标函数V与涵洞类型及结构尺寸密切相关，本文以交通部最新颁布的石、混凝土预制块拱涵标准图(JT/GQB004—2003)和《公路桥涵设计手册》(涵洞分册)为基础，对拱涵目标函数及相关系数进行分析。工程量包括涵身和洞口两部分。

将涵身工程量划分为拱圈Vg、台身Vt、墩身Vd、

台基础Vtj、墩基础Vdj和涵底铺砌Vpq六个部分，拱上侧墙工程量与涵高关系不大，不予考虑。设净跨径为Lo，拱顶侧墙高为50 cm，基础顶至侧墙顶面距离(涵高)为h，涵长为L，以两孔布置为例，则：

Vg=2SDgL (3)

Vt=2(a1+h1/(2n))h1L (4)

Vtj=2(a1+h1/n+2e)dL (5)

Vd=b h1L (6)

Vdj=(b+2e)dL (7)

Vpq=2d1L0L (8)

为便于计算，涵长L按正交考虑，上下游洞口高采用

相同值，计算公式如下：

式中 S——拱轴线长度(cm)；

Dg——拱圈厚度，Dg=5(cm)；

(cm)；a。为与矢跨比有关的系数，当

Fo／Lo≥1/3，取30；kt：为与顶填土厚度

有关的系数，根据现行拱涵标准图[2,3]的

n：1——台身背坡，n=4；

d——基础厚度，d=60(cm)；

e——基础襟边，e=20(cm)；

6——墩顶宽度，b=40+0．2Lo(cm)；

dl——铺砌厚度，d1=30(cm)；

l：m——路基边坡，m=1.5；

H——路基设计标高H，与涵洞中心基顶标高

B1、B2：——路基两侧宽度(cm)；

i一一涵底纵坡(％)；

k1、k2——系数，kt =(B1+mH)／(1+im)十

以八字墙为例，洞口工程量包括墙身体积Vbzq、墙基

础Vqj和洞口铺砌Vpq1三部分。设水流扩散角为30°，则：

Vpq1：=77.94h2+(964.8+198Lo)h—163 296—7 920Lo(12)

V= Vg + V i+ Vd + V tj+ V dj+ V pq + V bzq+ Vqj + Vpq1 (13)

3)求解最小工程量Vmin．，

将式(3)～(12)代入式(13)，令h=x，经过整理后：

V 二 a1x3] + a2x2 + a3x + a4 (14)

式中的系数a1、a2、a3、a4与Lo、H、h、i、m、B1、

B2以及具体的结构尺寸有关。取Lo=100 cm、200

cm、300cm，400cm、500cm，Fo／L。=1／2，H=800cm，涵

高按最小台高50 cm，分级为10 cm进行取值，求出相

关系数，并对式(14)求极小值，发现该值所对应的决策

变量(涵高)远远超出式(2)给出的约束条件。在约束

条件范围内目标函数V呈单调增加《生活垃圾焚烧厂运行维护与安全技术规程 cjj128-2009》，不难看出满足最

小涵洞净高的涵高对应着最小工程量Vmin0

1)在跨径不变情况下，涵洞工程量与涵高成正比

例增长。建议确定涵高时，在满足泄水的前提下，应尽

2)在总跨径相同，涵高相等的情况下，单孔比双孔

3)最小涵高对应最小工程量，因此水文计算不仅

是选用孔径的依据429.水泥土搅拌桩止水帷幕施工工艺(摘录自《建筑技术》07年3月第178-179页)，还是求解最小工程量的依据。

笔者运用上述结论对某二级公路的涵洞设计进行

了修改，在原设计基础上节省涵洞工程量约20％，减