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2长度投影变形影响分析

长度投影变形是测距边长度先归算到参考椭球体上，然后将参考椭球体长度归化到高斯平面长度，在这个变换过程中db15／t 1433-2018 自驾游基地设施建设及管理规范，长度发生一定的变形。

2.1 测距边长归化到参考椭球体面上产生的变形

将测距边长D投影到参考椭球面上的长度变形为S，则D和S之间的关系如下式：

（1）

式中：为长度所在高程面对于椭圆球面的高差；为长度所在方向的椭球曲率半径。

2.2 椭球面长度归化到高斯平面上长度的变形

设将椭球面上的长度S归化到高斯平面上的长度为，则S和的关系如下式：

（2）

式中为测距边两端点横坐标的平均值；为测距边中点的平均曲率半径。

2.3 长度投影综合变形

由式（1）、（2）可知，实地测距边长D与高斯平面长度之间的长度的综合变形的计算公式为：

（3）

为了计算的方便，又不损害必要的精度，可略去极小项，并将椭球视为圆球，取圆球半6371Km。实地测距化归高斯平面上的长度综合变形的公式似为：

（4）

其相对变形公式为：

（5）

我国《城市测量规范》、《公路勘测规范》均对控制网的长度综合变形的容许范围作了明确的规定，一致确立了平面控制网的坐标系统应该保证长度变形不超过2.5cm/Km（相对变形为1/40000）这一原则。由式（4）可知，长度综合变形和距离中央子午线的距离和长度所在的高程有关。当D=1Km时，将该测距长度归算到参考椭球面上，然后在投影到高斯平面上，所引起的长度变形和相对变形的情况如表1所示。由表1中可以看出，在绝大多数情况下，上述的距离改化方法，其长度相对变形都超过了1/40000的精度要求，而且长度变形相当可观。

表1 D=1Km时长度变形值和相对变形值

4．消除长度变形的方法

4．1 选择“抵偿高程面”作为投影面，按高斯正形投影3度带计算平面直角坐标

我们知道，将实地测得的真实长度归化到国家统一的椭球面上时，应加如下改正数：

式中 是实测平距， 是基线平均高程与大地水准面之间的高差， 是地面观测目标点AB方向法线曲率半径。

将椭球面上的长度投影至高斯平面，应加如下改正数：

式中 是大地线高斯投影后始末两端点横坐标的平均值，是大地线始末两端点平均纬度计算的椭球的平均曲率半径，是计算目标点在椭球面上沿法线方向投影点之间的椭球长度。

上面公式表明：将大地线由较高的高程面化算至较低的椭球面时，长度总是减小的；而将椭球面上的大地线投影到高斯平面上时，长度总是增加的。根据它们的抵偿性质，如果适当选择椭球的半径，使长度化算到这个椭球面上所减小的数值，恰好等于由这个面投影到高斯平面上所增加的数值，那么高斯平面上的距离同实地距离就一致了。这个适当半径的椭球面，即为“抵偿高程面”。

欲使长度综合变形得以抵偿，必须

即

为了实际计算方便，又不致损害其必要精度，可以将椭球视为圆球。取圆球的半径≈≈6371㎞，又取不同投影面上的同一距离近似相等，即D≈S，则有

式中 以百公里为单位，以米为单位。

例如：某测区平均高程=400m，观测目标在高斯平面坐标系中的平均横坐标为 =91㎞，则有

= Ym2/(2Rm)=785 Ym2=785*0.912=650（m）

H抵= Hm－△Hm=400－650=－250 （m）

所以，当测区选取抵偿高程面H抵=－250 m进行投影计算时，其变形长度将为0。在抵偿高程面确定后，在测区内选择其中一个国家点（X0,Y0）作为“原点”，保持它在国家3°带内的国家统一坐标不变，而将其它国家点坐标（X,Y）化算到抵偿高程面相应的坐标系中去，即

X抵=X+（X－X0）*H抵/

Y抵=Y+（Y－Y0）*H抵/

经过上式换算后，得到的观测目标高斯平面坐标就可以满足《公路勘测规范》要求的投影长度变形不应大于2.5㎝/㎞的规定。

4．2 选择“抵偿投影带”，保持国家统一的椭球面作投影面不变，按高斯正形投影计算平面直角坐标

合理选择中央子午线的位置，使长度投影到该投影带所产生的变形，恰好抵偿这一长度投影到椭球面所产生的变形，则高斯投影平面上（即设计图纸上）的长度也能够和实地长度保持一致，避免长度变形。这种能够抵偿长度变形的投影带即为“抵偿投影带”。

欲使长度综合变形得以抵偿，必须

为了实际计算方便，又不致损害其必要精度，可以将椭球视为圆球。取圆球的半径Rm≈≈6371㎞，又取不同投影面上的同一距离近似相等，即D≈S，则有

式中以百公里为单位，以米为单位。

例如：某测区相对于大地水准面的平均高程=500米，则

所以，选择与该测区相距80㎞的子午线作为高斯投影的中央子午线，计算得到长度变形△S=0。

根据测区的已知平均高程和平均经纬度，就可以确定抵偿投影带的中央子午线位置。抵偿带确定后，应用高斯投影换带的坐标计算的方法，将国家点坐标换算到抵偿投影带；反之，已知某点在抵偿带内的平面直角坐标，也可以方便地求出它在国家统一坐标系统内的大地坐标。

4．3 加长度投影变形改正值

图纸上的距离是高斯平面上的距离，在线路实地放样时湖北省某高速公路施工组织设计方案，应减距离改正值改化为实地放样距离：

长距离线路工程中长度综合变形的容许范围为平面控制网的坐标系统应该保证长度变形不超过2.5cm/Km（相对变形为1/40000）。由于采用国家统一的坐标系，局部的长度变形不可避免，在线路测量中，、要重视长度变形的影响，尽可能减少测距边投影长度变形给施工测量精度带来的不利影响。本文分析了长距离线路工程中长度变形的影响和控制方法，为此类项目的测量工程提供参考。

[1] 国家技术监督局，中华人民共和国建设部。工程测量规范 [M]。北京：中国计划出版社，1993

[2] 杨国清 控制测量学 [M]。郑州：黄河水利出版社，2005

[3] GPS测量与数据处理。 武汉大学出版社 2005

[4] 叶巧云 公路勘测放线中长度投影变形的影响和对策 森林工程 2003 （6）

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Keyword: length deformation; projection deformation; side projection correction;