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无单元伽辽金方法中权函数及影响域研究无单元伽辽金方法（ElementFreeGalerkinMethod,EFGM）是一种重要的无网格数值计算方法，广泛应用于固体力学、断裂力学和大变形问题等领域。该方法通过移动最小二乘法（MLS）近似构造形函数，避免了传统有限元方法中对网格的依赖，从而提高了计算灵活性和适应性。
在EFGM中，权函数和影响域是两个关键因素，直接影响形函数的精度与计算效率。权函数用于加权局部节点的信息，常见的有高斯权函数、三次样条函数等。不同的权函数形式会影响形函数的光滑性和逼近能力，合理选择权函数能够提高计算结果的稳定性和收敛性。
影响域是指每个节点在构造形函数时所考虑的邻近节点范围，通常由影响半径控制。影响域过小可能导致形函数不连续或矩阵病态，影响域过大则会增加计算量并可能引入不必要的干扰。因此，如何根据问题的几何特征和节点分布自适应地确定影响域，是提升EFGM性能的重要研究方向。
近年来，学者们提出了多种自适应确定影响域的方法，并尝试结合不同类型的权函数以优化计算效果。这些研究不仅丰富了EFGM的理论体系，也进一步拓展了其在复杂工程问题中的应用前景。
cnas-cl01-g004：2023 内部校准要求StudyonWeightFunctions andtheInfluenceDomai
有限元法是目前解决电磁场边值问题的强有 力手段，因其完备的数学理论、适用性强等特点而 被广泛应用。但有限元法以网格单元为基础，对 单元有特殊要求，不能很好地解决某一方向具有 微小尺寸结构的磁场计算问题。特别对于三维 场，有限元法的网格剖分和单元信息的输入变得 更加复杂，虽然有网格自动生成器，但还是计算昂 贵、精度较低。
*基金项目：国家重大基础研究前期研究专项（2004CCA06500）：河北省自然科学基金重点资助项目（2004000058）； 河北省教育厅科学研究计划（2005217）
可用于某些有限元法不能有效解决的工程电磁场 问题（如薄膜、微小气隙、运动线圈等问题）。关 于无单元法的基本原理，此处不在赘述，详见文献 [7]。
权函数的使用是EFGM关键所在，使用不同 的权函数将对计算精度、计算速度及收敛性有很 大的影响。
权函数的选取没有一种通用的方法，但其选 取应符合以下规则： （1）权函数非负； (2）某节点的权函数在该节点取最大值，由 近及远逐渐衰退，且在影响域之外为0； （3）权函数应在整个域内连续可导，以保证 滑动最小二乘法近似函数光滑。 对于EFGM，规则（2）最为重要，它使得近似 具有局部意义。即近似解u（x)仅仅依赖于权函 数w;非零域内的节点，而与其他节点无关。同 时，权函数的紧支属性使得求解中所形成的系数 矩阵具有稀疏、带状特性。各节点权函数的紧支 区域.通常被称为该点的影响域。
常用的权函数有有理式型函数、负指数型函 数、指数型函数、样条型函数和圆锥型函数
有理式型（RationalFomula）
圆锥型（ConicalFomul
mx =dmax Cx dmy= dmax Cy, dm=dmax
式中：da为一标量参数；c，，c为节点x和最 邻近点的距离
无论哪种类型权函数，影响域对计算精度、计 算效率的影响都很大，因此，选择合适的影响域是 非常重要的。 影响域是每一个数值点的权函数的实际作用 范围，影响域太小，将使得滑动最小二乘法的解不 惟一；而影响域太大，又使滑动最小二乘法的计算 点太多，计算量增大，精度下降。因此，影响域的 选取原则应使影响域内包含足够多又尽可能少的 节点。 在二维问题中，节点x的影响域一般取为半 径为的圆，可取为
负指数型(NegativeExponential)
式中：n=3(线性基）;n=6(二次基）；n=10(三 次基）；c为节点分布密度；入为>1的系数，可取 =25~6。 在三维问题中，节点x的影响域一般为半径 的球，可取为
(x, ) 2 w(s) 0
三次样条型（CubicSpline）
式中：d是一标量参数，分析静态场时一般取为 25~35：c是节点和x最邻近点的距离。
本文用EFGM对两个算例进行计算，研究
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EFGM中权函数的性能。
该问题的解析解为 u(x, y） = sin t x· sin 2t y 定义均方差为
图1影响半径对计算精度的影响
表1给出了不同类型权函数下的计算结果。 其中，在有理式权函数中，k=4.7=0.001；在负指 数型权函数中a=4.0；在指数型权函数中，α= 0.3；在圆锥型权函数中，k=2。采用罚函数法处 理强加边界条件，罚因子C=10。节点规则分 布，2601个节点。根据式（10)计算影响半径 入=5.0
表1不同类型权函数下的计算结果
选择不同类型的权函数，研究影响半径对计 算精度的影响。图1给出了几种类型的权函数随 影响半径的增大计算精度下降的情况。 观察图1，在满足有解的前提下（当影响半径 太小时，方程组奇异，会出现不收敛、无解的情 况），无论是哪种类型的权函数，随着影响半径的 增大，均方差增大，计算精度下降。 无论哪种类型权函数，随着节点个数的增加 精度都在增加，如图2所示。其中，罚因子C=10
图2节点个数对不同类型权函数精度的影响
综合考虑计算精度、收敛性能等，认为选择负 指数型权函数、有理式型权函数比较好
图3为一方形电极和其外屏蔽的模型。因为 对称性，只计算第一象限的部分，图中单位为m。 内导体电极的电位取10V，外层屏蔽电位取0V， 两者之间的区域认为是真空高层框剪外脚手架施工方案，无体电荷分布。
选取线性基，负指数权函数，四阶高斯积分， 影响半径根据式（11)计算，dmax=25。用三维无 单元程序计算各节点电位值，并画出电位分布效 果图如图4所示。
为了清楚显示电位分布，采取切片等位线显 示，做垂直于x坐标的平面切片，图5为平面x=0 上电位分布。
图5平面x=0上等位线
从图5可知，计算结果和实际情况吻合得较 好
本文比较了不同类型权函数对计算精度的影 响，给出了影响域的选取原则及二维、三维场中影 响半径的计算公式，并得出如下结论
（1）综合考虑计算精度、收敛性能等，认为选 择负指数型权函数、有理式型权函数较好。 （2）影响半径对计算精度影响很大，随着影 响半径的增大，计算时间增加、精度下降。其中 影响半径对三次、四次样条型权函数、圆锥型权函 数影响很大，当影响半径较大时，常常出现不收敛 的情况。
db51t 2982-2022 森林经营碳普惠方法学文核心期刊 中国学术期刊光盘版中国科技论文统计用刊 引文数据库来源期刊 中国学术期刊综合评价数据库来源期刊
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