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因为应变率有九个分量，它也是二阶张量jc∕t 1041-2007 混凝土裂缝用环氧树脂灌浆材料，按矩阵形式可以表达 成

= ？ (i.j=xyx) Y y

如果体积是不可压缩的，那么三个应变率之和必为零，即

E+e+= D (∈+∈+∈）=0 a

这时称体应变率为零。 与应变张量完全类似，应变率张量也可以分解成应变率球张 量和应变率偏斜张量。这个分析过程和结果与应变张量分析过程 和结果完全类似。应当指出是按瞬时位置计算的，而是按初 dEj 本书将材料的塑性变形划分为两种情况，一是塑性变形仅限 于与弹性力学同一量级，称之为小弹塑性变形。既使塑性变形引 入粘性影响，计入时间因素，某些粘塑性问题仍限于小弹塑性变 形范畴。二是塑性有限变形或大变形范畴，它通常表述成另一种 应变的概念，谓之日自然应变或对数应变。以杆件拉伸的单向应 力描述它时，设。为杆的原长，！为杆的瞬时长度，工程应变概 念是

它与工程应变的关系是

对二维极坐标表示的轴对称或球对称向题，小弹塑性变形下 研究塑性应变时，径向应变e和环向应变E与径向位移u之间关 系为

du E= = dr

而有限变形下研究粘塑性应变，用r表示瞬时径向坐标，?为初始 坐标的话。分别有

∈,= ln dr dr

或者写成径向坐标r和厚度h的函数式

∈,=In dr ∈=ln dr

dr dh de,= h

本书研究的某些粘塑性变形及工程问题已经突破了小弹塑性 变形的范畴。属塑性有限变形范畴

第五节应变强度的数学合理描述

在塑性力学中，曾引人一个应力强度和应变强度的概念，它 们分别用和：表示。在直角坐标分量情况下，它们的公式是

这两个表达式分别从应力和应变方面做为衡量材料是否进人塑性 的标准。因而它们与偏应力第二不变量和八面体剪应变有着类似

贾乃文，教材通讯，1987，4期。

对解析求解弹·粘塑性工程问题有重大作用， 由应变罗德参数么可以知道在弹性和塑性变形时，分别有

小弹塑性变形和简单加载条件下，应力分量按同一比例变化，则 德参数在弹性阶段和塑性阶段是相等的。即有

这一结论对本书研究弹·粘塑性材料也是适用的。 由罗德参数表达式推出

E1 1一E= 2 2 2—= 2

显然，这种描述在数学上严格于单一曲线物理关系，因此是合理 的表达形式。

第六节主偏应力的大小及方向

与应力张量求主应力方法类似，这里也可以求出应力偏斜张 量的主应力及主方向。尤其在塑性力学中，偏斜张量的第二不变 量与进入塑性有关，因此找出主偏应力的表达以及其间关系是比 较重要的。 如设S，表主偏应力，类比于应力状态求主应力方法，可以写 出主偏应力的方程

改用三角方程表示。设有

2 3 r.sinθ.

sin²0。— 3 sinθ。+ sin30。= 1 4

2 √Jsin(θ。+ √3 3 元 √J,sino. √3 2

=Gm+ Jsin(θ √3 3 式 √Jsino。 √3 2 3 3

第一节两个早期提出的屈服准则

1864年，法国科学家Tresca首先提出了三维材料从弹性过 渡到塑性的条件，即为：“当最大剪应力达到某一确定数值时，材 料开始屈服”。他的数学表达式为

trmax=k G —=2k

02=±2k 2±2k =±2k

Mises屈服准则则是外接棱柱的倾斜圆柱。其后的实验证实，对大 多数金属材料，Mises屈服准则的提法更接近实际。 Mises屈服准则通堂数学表达式为

面应力情况下，由于=0，故

由此式推出，用表示为

+ 4o 01 O 2 2

如将Tresca屈服准则表成

那么Mises屈服准则用μ。表成

S= 2 0—= 2

综合以上两式，给出用罗德参数统一表达的两种屈服准则

sinp √3(3+sin²) 3Ccosp K= (3 +sin²4)

这一屈服准则在三维应力空间中是圆锥体。如果不计内摩擦 角，即令上式中=0，这一准则就会转化为Mises屈服准则，即 三维应力空间的圆柱体。

三节改进的Tresca屈

Tresca屈服准则提出的较早，当知道主应力的顾序时，采用 它进行塑性计算是非常方便的。它主要适用于金属类材料和=0 的纯粘性土类材料。它的缺点是没有考虑静水压力对屈服的影响 在π平面的图形是有棱角即不连续的曲线。 为了克服这一缺点，一种改进的Tresca屈服准则被提出来 它是在其原有表达式中加入静水压力项

图24π平面上两种屈服准则

式中q代表广义剪应力的大小，g（6.）为平面上屈服曲线形状 函数。α、β均为系数，n为指数，一般为0，1，2。 为了使π平面上的屈服曲线光滑，且在6=士 2 伦准则拟合，要求形状函数必须为

满足这些条件的g（0）有多种选择，简单地有

α，β，n与K决定p一q平面 上屈服曲线的形状。如果选用了n =2的二次曲线形式，这样它在 一α平面上都是光滑曲线，不仅有 利于数值计算，而且在一定程度上 考虑了屈服曲线与静水压力的非 线性关系，以及α2对屈服的影响 （由g（0。）反映出来）。力，9分别 为静水压力与广义剪应力。 以上这些屈服准则，可以用应 力分量表示，也可以用应力不变量

或偏应力不变量表示。也可用静水压力与广义剪应力表示。例如 Tresca屈服准则可以表为

式中一30°≤0≤30°，而Mises屈服准则则表为

它们都没有计入静水压力影响。如果计入这一影响。用应力第 不变量表示，则会得出

就是岩土类材料的改进的屈服准则。后一式即是上面讲述的德鲁 克屈服准则。

第四节双剪应力屈服准则

的影响。而三个主剪应力中只有两个是独立变量，因此俞茂宏提 出用双剪应力表达屈服准则为

1312）13+2 (o+o）=k 9 当≥或≤ ? （α十）时 1 V

式中23（t），Ta（t2），t2（）分别为作用在平行于0，2，0 轴的斜平面上的主剪应力，k，为双剪应力屈服常数，由试验确定 之

是Mises准则的外包络线。材料屈服极限一般不会超出双剪应力 屈服准则确定的屈服曲线。 双剪应力屈服准则的空间曲面及π平面的形状，可以追溯到 早期苏联学者伊留申提出的最大偏应力准则。 最大偏应力准则指出：材料最大应力偏量达到某一确定值时 将发生塑性屈服。用公式表示为

用分量表示上式，取3C=2a，则有

这一屈服准则的空间曲面及平面的曲线与双剪应力相同。 其后，俞茂宏提出广义双剪应力屈服准则，建立了完整的双 剪应力强度理论。考虑平均应力及静水压力对屈服的影响的这 准则公式为

了 =T3+1β（13012k）

B O 0 0+0 20.0 +

针对砂土类材料屈服破坏特点，罗德在1975年提出一种屈服 破坏的准则，即双屈服面屈服准则的主要部分，其函数式为

三不变量；k为屈服极限值，a，b为

虽然这一屈服准则反映了三个主应力，特别是主应力对屈 服与破坏的影响，屈服曲面也是光滑连续的，但是它只适用于砂 类土，还不能适用于岩石，混凝土等具有一定抗拉强度岩土类材 料。还不能反映单纯静水压力和比例加载时产生的屈服现象等。因 面，罗德又在1977年提出具有两个屈服面的罗德修正屈服准则 该准则包括一个含两个参数的剪切屈服函数表达为

另外还有一个压缩屈服函数

剪胀屈服面反映了应力不变量 对屈服的影响，它在主应力空间 中是以静水压力线为对称轴，母 线为三次曲线的曲边三角锥；压 缩屈服面在主应力空间中是 — 个以原点为球心，以r= √十十为半径的一族同心 球面，它反映了材料的剪缩特性 和单纯静水压力可以产生屈服

的影响。这一理论形象地俗称“帽子理论”。由于该理论中的剪胀 屈服面并不是直线的棱边，因而它能反映比例加载随静水压力增 大产生屈服的影响。由于罗德修正的双屈服面准则，理论上比较 完善，能够较好地反映岩土类材料的所有屈服与破坏特征，在结 构工程中将会有广泛的应用

第六节正交各向异性材料屈服准则

正交各向异性材料，其中任一点都存在着三个表示正交异性 性质的主轴，可以用r，y和表示它们。在假定静水压力不影响 屈服条件下，最早由希尔（Hill）提出了正交各向异性材料的启服 准则是：

式中六个材料常数F，G，H，L，M和N是独立的，对具体材料 由实验确定。 设X、Y和Z表示沿x，y和z三个各向异性主轴方向的单向

从而可以定出F、G和H分别为

G+H=交 1 H+F= Y? F+G= 1 Z

z #+一 H=(+

又设R，S和T为相应于各向异性主轴的剪切屈服应力，则 有L，M和N表达式

1 M= 1 N= 2R2 2S2 27'2

再由此推求相反关系式

G+H 三 √ F+H 1 F +G =

各向异性应力强度。：为

等号两边分别相加并由F=H得

新疆钢筋施工方案（33p）y 2² + 4 H(2H + G) 2 (2H + G)(G +H) 0 H+2G 9 H

横观各向同性是正交各向异性的特例。即是材料在某一平面

内是各向异性的，·而垂直方向与平面中的两个坐标方向表现为不 同的应力应变关系。如果用各向异性特征参数描述的话，即F= H，而H和G是不同的，从而得出上式， 如果简单地引入记号α和6分别是

H(2H+G) 4 3 H + 2G 2 (2H + G)(G + H) 5 9 H

y 十 2z 区 一

db44／t 998-2012 陶瓷废料循环利用 隔热轻质环保型陶瓷砖G 并引入椭圆参数式

令入= G 并引入椭圆参数式 H'

2 2+A √3 √2 √(2+x)(1+x)osinθ ，